Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) ．
（1）求橢圓C的離心率：
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且 ，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： （a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) ．

∴c=1，2a=PF1+PF2= =2 ，即a=

∴橢圓的離心率e= = =

（2）解：由（1）知，橢圓C的方程為 ，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）

（I）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，﹣1）兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2± ）

（II）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)其方程為y=kx+2，

因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），則

， ，又|AQ|2=（1+k2）x2，

∴ ，即 = …①

將y=kx+2代入 中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②

由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞

由②知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，代入①中化簡(jiǎn)得x2= …③

因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上，所以k= ，代入③中并化簡(jiǎn)得10（y﹣2）2﹣3x2=18

由③及k2＞ 可知0＜x2＜ ，即x∈（﹣ ，0）∪（0， ）

由題意，Q（x，y）在橢圓C內(nèi)，所以﹣1≤y≤1，

又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（ ， ）且﹣1≤y≤1，則y∈[ ，2﹣ ]

綜上得，點(diǎn)Q的軌跡方程為10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣ ， ），y∈[ ，2﹣ ]

【解析】（1）由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)直接求出a，c的值，即可得到橢圓的離心率；（2）由題設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，可設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由于兩曲線交于兩點(diǎn)，故判斷式大于0且可利用根與系數(shù)的關(guān)系建立M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率k的等量關(guān)系，然后再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)M，N的坐標(biāo)表示出 ，再綜合計(jì)算即可求得點(diǎn)Q的軌跡方程．