Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線與橢圓C交于兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)時，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦半距為，利用離心率為，橢圓的長軸長為4．列出方程組求解，推出，即可得到橢圓的方程．

（2）存在實數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點．設(shè)點，，，，將直線的方程代入，化簡，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為：．求解即可．

解：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得，解得，

所以，故所求橢圓C的方程為

（2）存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O.理由如下：

設(shè)點，，將直線的方程代入，

并整理，得.（*）

則，

因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，所以，即.

又，于是，

解得，

經(jīng)檢驗知：此時（*）式的，符合題意.

所以當(dāng)時，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O