【題目】將邊長分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起,形成如圖所示的圖形,由小到大,依次記各陰影部分所在的圖形為第個、第個、……、第個陰影部分圖形.設(shè)前個陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足,
(1)求的表達式;
(2)寫出,的值,并求數(shù)列的通項公式;
(3)定義,記,且恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2), ,;(3).
【解析】
(1)根據(jù)題意,分別求出每一個陰影部分圖形的面積,即可得到前個陰影部分圖形的面積的平均值;(2)依據(jù)遞推式,結(jié)合分類討論思想,即可求出數(shù)列的通項公式;(3)先求出的表達式,再依題意得到,分類討論不等式恒成立的條件,取其交集,即得所求范圍。
(1)由題意有,第一個陰影部分圖形面積是:;第二個陰影部分圖形面積是: ;第三個陰影部分圖形面積是:;所以第個陰影部分圖形面積是:;故;
(2)由(1)知,,,所以,
,
當(dāng)時,
當(dāng)時,
,
綜上,數(shù)列的通項公式為,。
(3)由(2)知,,,由題意可得,恒成立,
①當(dāng)時,,即,所以,
②當(dāng)時,,即,
所以,
③當(dāng)時,,即,
所以,
綜上,。
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).
(I)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,并判斷它們的位置關(guān)系;
(II)將曲線向左平移個單位長度,向上平移個單位長度,得到曲線,設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,設(shè)曲線上任一點為,求的取值范圍.
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【題目】近年來,某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的分類垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1 000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸):
“廚余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
廚余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率P;
(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率;
(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱,“可回收物”箱,“其他垃圾”箱的投放量分別為a、b、c,其中a>0,a+b+c=600. 當(dāng)數(shù)據(jù)a、b、c的方差s2最大時,寫出a、b、c的值(結(jié)論不要求證明),并求出此時s2的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+alnx(a>0).
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,試求函數(shù)圖線過點(1,f(1))的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,若關(guān)于x的方程f(x)=x+b有唯一實數(shù)解,試求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥mx2恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)是異面直線,則以下四個命題:①存在分別經(jīng)過直線和的兩個互相垂直的平面;②存在分別經(jīng)過直線和的兩個平行平面;③經(jīng)過直線有且只有一個平面垂直于直線;④經(jīng)過直線有且只有一個平面平行于直線,其中正確的個數(shù)有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,己知曲線C1 的方程為ρ=2cosθ+2sinθ,直線 C2 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù))
(Ⅰ)將 C1 的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)P 為 C1 上一動點,求 P 到直線 C2 的距離的最大值和最小值.
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【題目】為選派一名學(xué)生參加全市實踐活動技能竟賽,A、B兩位同學(xué)在學(xué)校的學(xué)習(xí)基地現(xiàn)場進行加工直徑為20mm的零件測試,他倆各加工的10個零件直徑的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示(單位:mm)
A、B兩位同學(xué)各加工的10個零件直徑的平均數(shù)與方差列于下表;
平均數(shù) | 方差 | |
A | 20 | 0.016 |
B | 20 | s2B |
根據(jù)測試得到的有關(guān)數(shù)據(jù),試解答下列問題:
(Ⅰ)計算s2B,考慮平均數(shù)與方差,說明誰的成績好些;
(Ⅱ)考慮圖中折線走勢情況,你認(rèn)為派誰去參賽較合適?請說明你的理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓:,圓:,動點在直線:上(),過分別作圓,的切線,切點分別為,,若滿足的點有且只有一個,則實數(shù)的值為______.
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線l:(t為參數(shù))與曲線C:(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)若α=,求線段AB中點M的坐標(biāo);
(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP|,其中P(2,),求直線l的斜率.
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