Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)．（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由（1）知，且，不等式作差得，即證對(duì)成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求最值證明即可.

（1）的定義域?yàn)?/span>，，

對(duì)于函數(shù)，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在恒成立．

在恒成立，在為增函數(shù)；

②當(dāng)，即或時(shí)，

當(dāng)時(shí)，由，得或，，

在為增函數(shù)，減函數(shù)，

為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，由在恒成立，

在為增函數(shù)．

綜上，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)．

（2）由（1）知，且，

故

故只需證明，

令，故，

原不等式等價(jià)于對(duì)成立，

令，所以單調(diào)遞減，有

得證.