Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-2，
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若過點(diǎn)N（

1

2

，1）的直線l交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn)，且點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得：設(shè)M（x，y），寫出直線AM與直線BM的斜率，利用線AM與直線BM的斜率之積為-2，得到x與y的關(guān)系，進(jìn)而得到答案；
（2）根據(jù)題意可得直線l的斜率存在，設(shè)l：y-1=k（x-

1

2

），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立方程組得：（2+k²）x²-k（k-2）x+（-

1

2

k+1）²-2=0再結(jié)合根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線的斜率得到直線的方程．

解答： 解：（1）由題意可得：設(shè)M（x，y），
∵直線AM與直線BM的斜率之積為-2，
∴

y

x+1

•

y

x-1

=-2，化簡(jiǎn)得：x2+

y2

2

=1(y≠0)．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為x2+

y2

2

=1(y≠0)．
（2）根據(jù)題意可得直線l的斜率存在，
∴設(shè)l：y-1=k（x-

1

2

），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
代入橢圓方程，整理可得：（2+k²）x²-k（k-2）x+（-

1

2

k+1）²-2=0
∴x₁+x₂=-

k(2-k)

2+k2

，
∵N（

1

2

，1）為CD的中點(diǎn)，
∴-

k(2-k)

2+k2

=1，
∴k=-1，
∴直線l的方程為2x+2y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求曲線方程的方法，以及考查當(dāng)直線與圓相交時(shí)結(jié)合題意運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值的知識(shí)點(diǎn)，是一道綜合性較強(qiáng)的題．