【題目】如圖,四棱錐中,二面角為直二面角,為線段的中點(diǎn),,,.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)利用面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即可證明;
(2)連接,在平面內(nèi)作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
由(1)知為平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面的法向量為,根據(jù)題意,求出向量,利用空間向量法求二面角的方法,則向量的夾角或其補(bǔ)角即為所求.
(1)證明二面角為直二面角,
所以平面平面,
因?yàn)?/span>,,
平面平面,平面,
平面,又平面,
,
,,
又為的中點(diǎn),,
又,平面,
平面,平面平面.
(2)如圖,
連接,在平面內(nèi)作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,
,,
,,,,,
,,
設(shè)平面的法向量為,
即令,則,,
是平面的一個(gè)法向量,
平面,平面的一個(gè)法向量為,
,
由圖可知二面角的平面角為銳角,
故二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年底,北京2022年冬奧組委會啟動(dòng)志愿者全球招募,僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬,其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試,所得成績(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:
(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬青年學(xué)生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);
(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人,記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn),下列結(jié)論正確的是( )
A.在上存在,,滿足
B.在有且僅有1個(gè)最小值點(diǎn)
C.在單調(diào)遞增
D.的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,平面,,為中點(diǎn),下列說法中
(1);
(2)記二面角的平面角分別為;
(3)記的面積分別為;
(4),
正確說法的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)函數(shù)在處的切線過點(diǎn),求的方程;
(2)若且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,且,.
(1)證明:平面;
(2)在線段上,是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為?如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線()上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和,焦點(diǎn)為F.線段的中點(diǎn)為,且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離之和為8
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若線段的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C,求面積的最大值.
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