【題目】(1)若整數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式,證明:.
(2)試寫(xiě)出不定方程的一組正整數(shù)解,并對(duì)此解驗(yàn)證.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)因?yàn)?/span>,所以,只需證,且.
先證:.
注意到,不被3整除的整數(shù)的平方被3除余1,被3整除的整數(shù)的平方仍被3整除.從而,被3除余2的整數(shù)一定不是平方數(shù).
如果都不被3整除,則被3除余2.
考慮.若,則被3除余1;若被3除余1,則被3整除.此時(shí)不能成立.
如果都為3的倍數(shù),顯然,為9的倍數(shù),更有.
如果只有一個(gè)為3的倍數(shù),則被3除余1.
因此,.所以,.
再證:.
由為偶數(shù),知的奇偶性相同.
若同為奇數(shù),則,即.進(jìn)而,,與是平方數(shù)矛盾.
若同為偶數(shù),則,即.進(jìn)而,.此時(shí),為奇數(shù).
因此,.
從而,即.
而同余式當(dāng)且僅當(dāng)同為4的倍數(shù).因此,.
因?yàn)?/span>,所以,.
(2)例子:當(dāng)時(shí),.
而,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,直線(xiàn)AP,AB,AD兩兩相互垂直,且AD∥BC,AP=AB=AD=2BC.
(1)求異面直線(xiàn)PC與BD所成角的余弦值;
(2)求鈍二面角B﹣PC﹣D的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)不論取什么值, 函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若成立, 求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg), 其頻率分布直方圖如下:
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計(jì)A的概率;
(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50 kg | 箱產(chǎn)量≥50 kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=5﹣n,其前n項(xiàng)和為Sn , 將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),記{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n , 若存在m∈N* , 使對(duì)任意n∈N* , 總有Sn<Tn+λ恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A.λ≥2
B.λ>3
C.λ≥3
D.λ>2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.已知.
(Ⅰ)求.
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求在上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,求f (2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,試求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|2x2﹣3x﹣9≤0},B={x|x≥m}.若(RA)∩B=B,則實(shí)數(shù)m的值可以是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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