【題目】已知函數,.
(1)討論的單調性;
(2)若函數在上單調遞增,求的取值范圍.
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)
【解析】
(1)求,,對參數分類討論,求出的解的區(qū)間,即可得出結論;
(2)根據條件即求在恒成立的取值范圍,求出
,即,分離參數,在恒成立,構造函數,只需,通過二次求導判斷的正負,進而判斷的單調性,求出;或,則至少有,,然后求,求出單調區(qū)間,進而求出,解不等式,即可得出結論.
(1)的定義域為,,
當時,在上恒成立,
所以在上遞減;
當時,令,
當時,,當時,,
則在上遞減,在上遞增.
(2)
在恒成立,
所以,即
令,則有,
令,則有在上恒成立.
故在上為減函數,
所以在上為減函數,
則,故.
另解令,則至少有.
當時,則有,
令,開口向上,對稱軸,
故在上為增函數,
所以在上為增函數,
則,故.
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【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標;若不過定點,請說明理由.
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【題目】某農戶計劃種植萵筍和西紅柿,種植面積不超過畝,投入資金不超過萬元,假設種植萵筍和西紅柿的產量、成本和售價如下表:
年產量/畝 | 年種植成本/畝 | 每噸售價 | |
萵筍 | 5噸 | 1萬元 | 0.5萬元 |
西紅柿 | 4.5噸 | 0.5萬元 | 0.4萬元 |
那么,該農戶一年種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)的最大值為____萬元
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【題目】拋物線有光學性質,即由其焦點射出的光線經拋物線反射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出,反之亦然.如圖所示,今有拋物線,一光源在點處,由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向拋物線上的點,反射后,又射向拋物線上的點,再反射后又沿平行于拋物線的對稱軸方向射出,途中遇到直線上的點,再反射后又射回點.設,兩點的坐標分別是,.
(1)證明:;
(2)若四邊形是平行四邊形,且點的坐標為.求直線的方程.
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【題目】近年來,隨著網絡的普及,數碼產品早已走進千家萬戶的生活,為了節(jié)約資源,促進資源循環(huán)利用,折舊產品回收行業(yè)得到迅猛發(fā)展,電腦使用時間越長,回收價值越低,某二手電腦交易市場對2018年回收的折舊電腦交易前使用的時間進行了統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,在如圖對時間使用的分組中,將使用時間落入各組的頻率視為概率.
(1)若在該市場隨機選取1個2018年成交的二手電腦,求其使用時間在上的概率;
(2)根據電腦交易市場往年的數據,得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值,其中(單位:年)表示折舊電腦的使用時間,(單位:百元)表示相應的折舊電腦的平均交易價格.
由散點圖判斷,可采用作為該交易市場折舊電腦平均交易價格與使用年限的回歸方程,若,,選用如下參考數據,求關于的回歸方程,并預測在區(qū)間(用時間組的區(qū)間中點值代表該組的值)上折舊電腦的價格.
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
附:參考公式:對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.參考數據:,,,,.
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【題目】某高校在2019年的冬令營考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下圖所示:
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 | 5 | 0.050 | |
第2組 | 35 | 0.350 | |
第3組 | 10 | 0.100 | |
第4組 | 20 | 0.200 | |
第5組 | 30 | 0.300 | |
合計 | 100 | 1.00 |
(1)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生,高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(2)在(1)的前提下,高校決定在這6名學生中,隨機抽取2名學生接受A考官進行面試,求第4組至少有一名學生被A考官測試的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中,設點,,(其中表示a、b中的較大數)為、兩點的“切比雪夫距離”.
(1)若,Q為直線上動點,求P、Q兩點“切比雪夫距離”的最小值;
(2)定點,動點滿足,請求出P點所在的曲線所圍成圖形的面積.
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【題目】在數列{an}中,已知,且2an+1=an+1(n∈N*).
(1)求證:數列{an-1}是等比數列;
(2)若bn=nan,求數列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn,等比數列{bn}的前n項和為Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式;
(2)若T3=21,求S3.
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