如圖，在四棱錐A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn).

（1）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時，求證：SA∥平面BDE；

（2）求證：平面BDE⊥平面SAC；

（3）當(dāng)二面角E-BD-C的大小為45°時，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由.

 

 

 

【答案】

（Ⅰ）連接，由條件可得∥.

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image003.png">平面，平面，

  所以∥平面.      

（Ⅱ）法一：證明：由已知可得，,是中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image010.png">是正方形，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image012.png">，所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image014.png">，所以平面平面.   -

（Ⅱ）法二：證明：由（Ⅰ）知，.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四棱錐的底面邊長為2，

則，，，

，，.

所以，.

設(shè)（），由已知可求得.

所以，.

設(shè)平面法向量為，

則 即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image038.png">，

所以，所以平面平面.          -------------------（8分）

（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image040.png">，

所以是平面的一個法向量.

由已知二面角的大小為.

所以，

所以，解得.

所以點(diǎn)是的中點(diǎn).                        

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，并且側(cè)面ABC⊥底面BCDE．
（1）取CD的中點(diǎn)為F，AE的中點(diǎn)為G，證明：FG∥面ABC；
（2）試在線段BC上確定點(diǎn)M，使得AE⊥DM，并加以證明．

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精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�
（3）求點(diǎn)A到面EBD的距離．

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如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大�。�
（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．

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（2013•貴陽二模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F(xiàn)，G，H分別為BE，AE，BC的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：DE∥平面FGH；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在直線GF上，
GP
=λ
GF
，且二面角D-BP-A的大小為
π
4
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)，DE=EC．
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（2）設(shè)PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[
π
4
，
π
3
]，求a的取值范圍．

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