Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求點A到面EBD的距離．

Answer 1

分析：由于本題給出了三條兩兩垂直且相交于一點的三條直線DA、DP、DC，故可以考慮建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決．對于問題（1），由于條件中已經(jīng)給出了EF⊥PB，故只需再證明PB⊥DE即可，二者的坐標(biāo)都可以求出，只需計算

PB

•

DE

=0即可得證．
對于問題（2），平面PBD一個法向量A

•

C

已經(jīng)給出，只需找出平面PBC的一個法向量即可，由于三角形PDC是等腰直角三角形，E是PC的中點，容易得到DE⊥PC，而BC與平面PDC垂直容易證明，故能證明所以

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）是平面PBC的一個法向量，所以只需求這兩個法向量的夾角即可；
對于問題（3），求點A到面EBD的距離，只需求出平面EBD的一個法向量，A到面EBD的距離轉(zhuǎn)化為向量AB在這個法向量上的投影即可．

解答：解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），D，（0，0，0），P（0，0，1），E（0，

1

2

，

1

2

）
（1）P

•

B

=（1，1，-1），

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）
因為

PB

•

DE

=（1，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
所以P

•

B

⊥D

•

E

．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（2）由題知，A

•

C

=（-1，1，0）是平面PBD的一個法向量
又

PC

•

DE

═（0，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
所以

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）是平面PBC的一個法向量
cos＜D

•

E

，A

•

C

＞=

D • E •A • C

| DE |•| AC |

=

1 2

- 2 2 2

=

1

2

從而二面角C-PB-D的大小為60°
（3）設(shè)平面EBD的一個法向量為

•

n

（x，y，z）
則有

n • BE =0 • n •D • E =0

?

(x，y，z)•(-1，- 1 2 1 2 )=0 (x，y，z)•(0，- 1 2 1 2 )=0

?

-x- 1 2 y+ 1 2 z=0 1 2 y+ 1 2 z=0

?

x=z y=-z

所以

•

n

=（1，-1，1）是平面EBD的一個法向量．點A到面EBD距離d=

| • n •AB|

| n |

=

3

3

點評：本題考查線面垂直的判定、二面角的求法、點到面的距離的計算，在本題的條件下，選擇使用向量法，將證明問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題，使問題簡單化，但是要注意求二面角時先求兩個半平面的法向量，再計算其夾角；點A到面EBD的距離轉(zhuǎn)化成向量AB在面EBD的一個法向量上的投影．