Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，并且側(cè)面ABC⊥底面BCDE．
（1）取CD的中點(diǎn)為F，AE的中點(diǎn)為G，證明：FG∥面ABC；
（2）試在線段BC上確定點(diǎn)M，使得AE⊥DM，并加以證明．

Answer 1

分析：對(duì)于（1），只需證明FG平行于平面ABC內(nèi)的一條直線即可，而G是AE的中點(diǎn)，故取AB中點(diǎn)P，易證PG與CF平行且相等，從而PGFC是平行四邊形，的FG∥CP，問(wèn)題得證；
對(duì)于（2），取BC的中點(diǎn)M，由面面垂直性質(zhì)容易證明MD⊥AM，故只需證明MD⊥ME即可，而在底面BCDE為矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，M為
BC中點(diǎn)，由勾股定理容易得到MD⊥ME，從而MD⊥面AME，問(wèn)題得證．

解答：證明：（1）取AB的中點(diǎn)為P，連PC，PG，
則PG

∥

.

1

2

BE，又CF

∥

.

1

2

BE
=∴PG∥CF，∴PGFC是平行四邊形，∴FG∥CP（3分）
又FG?面ABCCP?面ABC∴FG∥面ABC．（6分）
（2）點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)（7分）
連接DM，EM，AM
由于AB=AC，∴AM⊥BC（8分）
則△MDE中，MD²+ME²=DE²∴EM⊥DM
又面ABC⊥面BCDE，交線為BC，∴AM⊥面BCDE，且DM?平面BCDE∴AM⊥DM（10分）
又AM∩EM=M，∴DM⊥平面AME∵AE?平面AME，∴AE⊥DM．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、垂直的判定，要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即將線面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線問(wèn)題．