稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①；②.
（1）若數(shù)列的通項公式是，
試判斷數(shù)列是否為2014階“期待數(shù)列”，并說明理由；
（2）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項公式；
（3）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

（1）是；
（2）．或；
（3）；

解析試題分析：（1）判斷數(shù)列是不是為2014階“期待數(shù)列”，就是根據(jù)定義計算，，是不是一個為0，一個為1，如是則是“期待數(shù)列”，否則就不是；（2）數(shù)列中等比數(shù)列，因此是其前和，故利用前前項和公式，分和進(jìn)行討論，可很快求出，或；（3）階等差數(shù)列是遞增數(shù)列，即公差，其和為0，故易知數(shù)列前面的項為負(fù)，后面的項為正，即前項為正，后項為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項公式可得．
試題解析：（1）因為，          2分
所以

，
所以數(shù)列為2014階“期待數(shù)列”           4分
（2）①若，由①得，，得，矛盾．     5分
若，則由①=0，得，     7分
由②得或．
所以，．?dāng)?shù)列的通項公式是
或            9分
（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，         11分
由①、②得，，     13分
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴數(shù)列的通項公式是．  16分
考點(diǎn)：（1）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與新定義的理解；（2）等比數(shù)列的前和公式與通項公式；（3）等差數(shù)列的前和公式與通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等比數(shù)列{an}中，a2＝32，a8＝，an＋1<an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求Tn的最大值及相應(yīng)的n值．

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已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，p與q垂直，且a1＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an＋1，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn.

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已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比數(shù)列{bn}的前三項．
(1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項公式；
(2)是否存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列{an－logabn}(n∈N*)是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和滿足，又，.
（1）求實數(shù)k的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

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設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.
（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

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在數(shù)列中，，若函數(shù)，在點(diǎn)處切線過點(diǎn)
(1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2）求數(shù)列的通項公式和前n項和公式.

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已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，且
（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

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設(shè)等比數(shù)列{}的前項和為，已知對任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）記求數(shù)列的前項和.

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