Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且開口向右，點(diǎn)A，B，C在拋物線上，△ABC的重心F為拋物線的焦點(diǎn)，直線AB的方程為。
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M為某定點(diǎn)，過點(diǎn)M的動(dòng)直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，試推斷是否存在定點(diǎn)M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）y²＝16x
（Ⅱ）

（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，
聯(lián)立消去x，得。                             （2分）
設(shè)點(diǎn)，則，
所以。                         （4分）
設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椤?i>ABC的重心為，則
，所以。                   （5分）
因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，則，解得p＝8，此時(shí)。
故拋物線方程為y²＝16x。                                                      （6分）
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M的動(dòng)直線l的方程為，代入拋物線方程y²＝16x，得
，所以。                                      （8分）
若以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即。
所以，即，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125030844250.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以。                                                （10分）
所以直線l的方程為，即，從而直線l必經(jīng)過定點(diǎn)。（11分）
若直線l的斜率不存在，因?yàn)橹本�與拋物線的交點(diǎn)為，此時(shí)仍有。故存在定點(diǎn)滿足條件。                               （13分）