Question

設(shè)a，b，c是素?cái)?shù)，記x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，當(dāng)z²=y，

x

-

y

=2時(shí)，a，b，c能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：素?cái)?shù)與合數(shù)

專題：綜合題,推理和證明

分析：首先根據(jù)題意用含有x，y，z的代數(shù)式表示出a，b，c，再根據(jù)y=z²，得到a=

z(z+1)

2

，根據(jù)z為整數(shù)，a為素?cái)?shù)求出z和a的值，進(jìn)而求出b和c的值，最后判斷a，b，c能否構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng)．

解答： 解：不能．
依題意，得a=

1

2

（y+z），b=

1

2

（x+z），c=

1

2

（x+y）．
因?yàn)閥=z²，所以a=

1

2

（y+z）=

1

2

（z²+z）=

z(z+1)

2

．
又由于z為整數(shù)，a為素?cái)?shù)，
所以z=2或-3，a=3．
當(dāng)z=2時(shí)，y=z²=4，x=（

y

+2）²=16．
進(jìn)而，b=9，c=10，與b，c是素?cái)?shù)矛盾；
當(dāng)z=-3時(shí)，a+b-c＜0，所以a，b，c不能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵根據(jù)a為素?cái)?shù)求出z的值，進(jìn)而求出a的值．