【題目】已知曲線E上任意一點P到兩個定點 的距離之和為4,
(1)求動點P的方程;
(2)設(shè)過(0,﹣2)的直線l與曲線E交于C、D兩點,且 (O為坐標(biāo)原點),求直線l的方程.

【答案】
(1)解:根據(jù)橢圓的定義,可知動點M的軌跡為橢圓

其中a=2, ,則 ,

所以動點P的軌跡方程為


(2)解:當(dāng)直線l的斜率不存在時,不滿足題意,

當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx﹣2,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),

∴x1x2+y1y2=0,

∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2,

∴y1y2=k2x1x2﹣2k(x1+x2)+4,

∴(1+k2)x1x2﹣2k(x1+x2)+4=0①

由方程組

得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,

,

代入①,得 ,

即k2=4,解得,k=2或k=﹣2,

所以,直線l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2


【解析】(1)根據(jù)題中條件:“距離之和為4”結(jié)合橢圓的定義,可知動點M的軌跡為橢圓,從而即可寫出動點M的軌跡方程;(2)先考慮當(dāng)直線l的斜率不存在時,不滿足題意,再考慮當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx﹣2,設(shè)C(x1 , y1),D(x2 , y2),由向量和數(shù)量積可得:x1x2+y1y2=0,由方程組 ,將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系即可求得k值,從而解決問題.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的概念的相關(guān)知識點,需要掌握平面內(nèi)與兩個定點,的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點,兩焦點的距離稱為橢圓的焦距才能正確解答此題.

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A.
B.
C.
D.

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