Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（1）若f（x）在x=﹣e處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ln（﹣x）+a，

由題意知x=﹣e時，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，

∴a=﹣1

∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函數(shù)，在（﹣e，0）上是減函數(shù)，

（2）解：f'（x）=ln（﹣x）+a，

∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，

∴﹣x∈[e﹣1，e2]，

∴l(xiāng)n（﹣x）∈[﹣1，2]，

①若a≥1，則f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此時f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函數(shù)，

fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1

②若a≤﹣2，則f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此時f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是減函數(shù)，

fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2

③若﹣2＜a＜1，則令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a

∵f'（x）=ln（﹣x）+a是減函數(shù)，

∴當(dāng)x＜﹣e﹣a時f'（x）＞0，當(dāng)x＞﹣e﹣a時f'（x）＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右減，

∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，

綜上：

【解析】（1）先對函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．（2）先研究f（x）在區(qū)間[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)求解f（x）在區(qū)間[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的最大值問題即可，故只要先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即得．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況．