Question

【題目】甲乙兩人報(bào)名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競(jìng)技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計(jì)分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過(guò)關(guān)另一人未過(guò)關(guān)，過(guò)關(guān)者得1分，未過(guò)關(guān)得分；若兩人都過(guò)關(guān)或都未過(guò)關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過(guò)關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.

（1）求的分布列；

（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報(bào)名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過(guò)關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；

（3）在第（2）問(wèn)的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意得：，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列.

（2）由題意得，，，推導(dǎo)出，根據(jù)中點(diǎn)公式能證明點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；

（3）由，求出，從而，，由此推導(dǎo)出甲獲勝的概率非常小，說(shuō)明這種游戲規(guī)則是公平的.

（1）

，

，

，

的分布列為：

		0	1

（2）由題意得：

，

，

.

于是，有，整理可得：，

根據(jù)中點(diǎn)公式有：，命題得證.

（3）由（2）可知，

于是

又，所以，，

.

表示最終認(rèn)為甲獲勝概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，

在甲過(guò)關(guān)的概率為0.5，乙過(guò)關(guān)的概率為0.6時(shí)，

認(rèn)為甲獲勝的概率為，此時(shí)得出甲獲勝的概率非常小，

說(shuō)明這種游戲規(guī)則是公平的.