【題目】將三棱錐與拼接得到如圖所示的多面體，其中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，.

（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，證明：平面；

（2）若與均為面積為的等邊三角形，求該多面體體積的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理得出平面平面，再由面面平行的性質(zhì)得出平面；

（2）將多面體的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐與的體積和，由于三棱錐和的底面積一定，則高同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，多面體的體積最大，當(dāng)平面平面時(shí)，由面面垂直的性質(zhì)得出三棱錐和的高，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.

（1）證明：∵、、為中點(diǎn)

∴，

又∵

∴

∵平面，平面

∴平面

同理平面

平面

∴平面平面

∵，∴平面

∴平面

（2）

易知平面

故

連接，當(dāng)平面平面時(shí)

∵是的中點(diǎn)

∴在正三角形、中

，，平面與平面的交線為

平面，平面

∴平面，平面

∴平面

此時(shí)，三棱錐和的高同時(shí)達(dá)到最大值

此時(shí)

由，是面積為的正三角形

可得

，

∴此時(shí).

故該多面體體積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線（）與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方）.

（1）若，求的面積；

（2）是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓經(jīng)過(guò)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在圓上.

（1）求的方程；

（2）直線不過(guò)曲線的右焦點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且與圓相切，切點(diǎn)在第一象限， 的周長(zhǎng)是否為定值？并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市10萬(wàn)名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學(xué)校高中男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測(cè)量結(jié)果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：

分組

[160，166)

[166，172)

[172，178)

[178，184)

[184，190]

人數(shù)

3

10

24

10

3

這50個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別比10萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差多1和6.68，且這50個(gè)數(shù)據(jù)的方差為.(同組中的身高數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)：

(1)求，；

(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：，.

(i)若從這10萬(wàn)名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，求該學(xué)生身高在(169,179)的概率；

(ii)若從這10萬(wàn)名學(xué)生中隨機(jī)抽取1萬(wàn)名，記為這1萬(wàn)名學(xué)生中身高在(169，184)的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線：上．

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)圓與軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上不同于、的任意一點(diǎn)，直線、交軸于、點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)對(duì)職工開(kāi)展了安全知識(shí)競(jìng)賽的活動(dòng),將競(jìng)賽成績(jī)按照,,… ,分成組,得到下面頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖.下列說(shuō)法正確的是( )

①根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該商場(chǎng)的職工的安全知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的眾數(shù)估計(jì)值為;

②根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該商場(chǎng)的職工的安全知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的中位數(shù)約為;

③若該商場(chǎng)有名職工,考試成績(jī)?cè)?/span>分以下的被解雇,則解雇的職工有人;

④若該商場(chǎng)有名職工,商場(chǎng)規(guī)定只有安全知識(shí)競(jìng)賽超過(guò)分(包括分)的人員才能成為安全科成員,則安全科成員有人.

A.①③B.②③C.②④D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地區(qū)實(shí)施“光盤(pán)行動(dòng)”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行動(dòng)計(jì)劃,進(jìn)店的每一位客人需預(yù)交元,啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結(jié)賬時(shí),根據(jù)每桌剩余酒量,按一定倍率收費(fèi)(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升計(jì)算(如剩余升,記為剩余升).例如:結(jié)賬時(shí),某桌剩余酒量恰好為升,則該桌的每位客人還應(yīng)付元.統(tǒng)計(jì)表明飲酒量與人數(shù)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,下面是隨機(jī)采集的組數(shù)據(jù)(其中表示飲酒人數(shù),(升)表示飲酒量):,,,,.

剩余酒量(單位:升)

升以上(含升)

結(jié)賬時(shí)的倍率

（1）求由這組數(shù)據(jù)得到的關(guān)于的回歸直線方程;

（2）小王約了位朋友坐在一桌飲酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,這時(shí),酒吧服務(wù)生對(duì)小王說(shuō),根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考慮再邀請(qǐng)位或位朋友一起來(lái)飲酒,會(huì)更劃算.試向小王是否該接受服務(wù)生的建議？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是,其中,.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中是常數(shù).

（1）求的解析式；

（2）求實(shí)數(shù)的值，使得函數(shù)，的最小值為；

（3）已知函數(shù)滿足：對(duì)任何不小于的實(shí)數(shù)，都有，其中為不小于的正整數(shù)常數(shù)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求直方圖中a的值；

（Ⅱ）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由.

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