【題目】橢圓經(jīng)過為坐標(biāo)原點，線段的中點在圓上.

（1）求的方程；

（2）直線不過曲線的右焦點，與交于兩點，且與圓相切，切點在第一象限， 的周長是否為定值？并說明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意，可得： ，從而得到的方程；

（2）依題意可設(shè)直線，由直線與圓相切，且切點的第一象限，可得，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得，利用韋達定理表示，同時表示，同理，從而易得周長為定值.

試題解析：

（1）由題意得，

由題意得， 的中點在圓上，

所以，得，

所以橢圓方程為.

（2）依題意可設(shè)直線，

因為直線與圓相切，且切點的第一象限，

所以，且有，

設(shè)，將直線與橢圓方程聯(lián)立

可得， ， ，且

，

因為，故，

另一方面

，

化簡得，同理，可得，

由此可得的周長，

故的周長為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在如圖所示的五面體中， ， ， ，四邊形為正方形，平面平面．

（1）證明：在線段上存在一點，使得平面；

（2）求的長．

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【題目】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機構(gòu)在某地區(qū)隨機采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.

（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率；

（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.

（1）求證: ；

（2）在上是否存在點，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于點， （在軸上方），且.設(shè)點在軸上的射影為，三角形的面積為2（如圖1）.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)平行于的直線與橢圓相交，其弦的中點為.

①求證：直線的斜率為定值；

②設(shè)直線與橢圓相交于兩點， （在軸上方），點為橢圓上異于， ， ， 一點，直線交于點， 交于點，如圖2，求證： 為定值.

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【題目】如圖1， 在直角梯形中， ， ， ， 為線段的中點. 將沿折起，使平面 平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證: 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心為，半徑為1的圓.

（1）求曲線， 的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)為曲線上的點， 為曲線上的點，求的取值范圍.

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【題目】已知，函數(shù).

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，已知函數(shù)，若對任意，總存在 ，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓與直線都經(jīng)過點.直線與平行，且與橢圓交于兩點，直線與軸分別交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明： 為等腰三角形.

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