Question

已知⊙C經(jīng)過A（3，2），B（1，2）兩點(diǎn)，且圓心在直線y=2x上．
（1）求⊙C的方程；
（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），且與⊙C相切，求直線l的方程；
（3）已知直線l′：kx-y-3k+3=0，求證：不論k取什么值，直線l′和⊙C總相交．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C（a，2a），再由圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，2）兩點(diǎn)，可得|CA|²=|CB|²，即 （a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．求得a的值，即可求得圓心坐標(biāo)和半徑，從而求得圓C的方程．
（2）用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程為y-2=k（x-1），根據(jù)圓心（2，4）到直線l的距離等于半徑，即

|2k-4+2-k|

k2+1

=

5

，解得k的值，可得直線l的方程．
（3）由于直線l′經(jīng)過定點(diǎn)H（3，3），而點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，可得直線l′和⊙C總相交．

解答： 解：（1）由于圓心在直線y=2x上，故可設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C（a，2a）． 再由圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，2）兩點(diǎn)，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．
解得 a=2，故圓心C（2，4），半徑r=

(a-3)2+(2a-2)2

=

5

，故圓C的方程為 （x-2）²+（y-4）²=5．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
由圓的切線性質(zhì)可得圓心（2，4）到直線l的距離等于半徑，即

|2k-4+2-k|

k2+1

=

5

，解得k=-

1

2

，
故直線l的方程為 x+2y-5=0．
（3）由于直線l′：kx-y-3k+3=0 即 k（x-3）+（-y+3）=0，經(jīng)過定點(diǎn)H（3，3），
而點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l′和⊙C總相交．

點(diǎn)評：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題．