Question

單位向量

a

、

b

所成角為θ，任意向量

c

滿足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0．
（1）當(dāng)θ=90°，求|

c

|的最大值；
（2）當(dāng)θ=60°，求|

c

|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先求出

a

•

b

=0，|

a

+

b

|=

2

，再將（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，化簡(jiǎn)得到|

c

|=

2

cosα，由余弦函數(shù)的值域即可得到最大值；
（2）首先求得

a

•

b

=

1

2

，|

a

+

b

|=

3

，再將（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，化簡(jiǎn)得到

1

2

+|

c

|²=

3

|

c

|cosα，再由余弦函數(shù)的值域：|cosα|≤1得到不等式，解出即可得到最小值．

解答： 解：（1）由于單位向量

a

、

b

所成角為θ，且θ=90°，
則

a

•

b

=0，|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2

，
由任意向量

c

滿足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
即有

a

•

b

+

c

2-

c

•（

a

+

b

）=0，
即|

c

|²=|

c

|•|

a

+

b

|•cosα，
則|

c

|=0或

2

cosα，
顯然當(dāng)

c

與

a

+

b

的夾角α=0，則有|

c

|有最大值，且為

2

；
（2）由于單位向量

a

、

b

所成角為θ，且θ=60°，
則

a

•

b

=

1

2

，|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

3

，
由任意向量

c

滿足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
即有

a

•

b

+

c

2-

c

•（

a

+

b

）=0，
即

1

2

+|

c

|²=|

c

|•|

a

+

b

|•cosα=

3

|

c

|cosα，
由|cosα|≤1得，

1 2 +| c|2

3 | c |

≤1，解得

3 -1

2

≤|

c

|≤

3 +1

2

．
則|

c

|的最小值

3 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，同時(shí)考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．