【題目】如圖,已知三棱錐P-ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點,M為PB中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC。
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(1)求證:DM∥平面PAC;
(2)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(3)求三棱錐M-BCD的體積
【答案】(1)詳見解析,(2)詳見解析,(3)
【解析】
試題分析:(1)證線面平行找線線平行,本題有中點條件,可利用中位線性質.即DM∥AP,寫定理條件時需完整,因為若缺少DM面APC,,則DM可能在面PAC內,若缺少AP面APC,則DM與面PAC位置關系不定.(2)證面面垂直關鍵找線面垂直.可由面面垂直性質定理探討,因為BC垂直AC,而AC為兩平面的交線,所以應有BC垂直于平面PAC,這就是本題證明的首要目標.因為BC垂直AC,因此只需證明BC垂直平面PAC另一條直線.這又要利用線面垂直與線線垂直關系轉化.首先將題目中等量關系轉化為垂直條件,即DM⊥PB,從而有PA⊥PB,而PA⊥PC,所以PA⊥面PBC,因此PA⊥BC.(3)求錐的體積關鍵找出高,有(2)有PA⊥面PBC,因此DM為高,利用體積公式可求得
試題解析:(1)D為AB中點,M為PB中點
DM∥AP
又DM面APC,AP面APC
DM∥面PAC
(2)△PDB是正三角形,M為PB中點
DM⊥PB,又DM∥AP,PA⊥PB
又PA⊥PC,PBPC=P,PA⊥面PBC
又BC面PBC,PA⊥BC
又∠ACB=90°,BC⊥AC
又ACPA=A,BC⊥面PAC
又BC面ABC,面PAC⊥面ABC
(3)AB=20,D為AB中點,AP⊥面PBC
PD=10
又△PDB為正三角形,DM=5
又BC=4,PB=10,PC=2
S△PBC=
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超過的部分按議價收費,為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m-1≤x≤2m+1},已知BA.
(1)當x∈N時,求集合A的子集的個數(shù);
(2)求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐,對歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碩族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 低碳族的人數(shù) | 占本組的頻率 |
第一組 | 120 | 0.6 | |
第二組 | 195 | ||
第三組 | 100 | 0.5 | |
第四組 | 0.4 | ||
第五組 | 30 | 0.3 | |
第六組 | 15 | 0.3 |
(1)補全頻率分布直方圖并求的值(直接寫結果);
(2)從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領隊,求選取的2名領隊中至少有1人年齡在歲的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,為兩非零有理數(shù)列(即對任意的,均為有理數(shù)),為一無理數(shù)列(即對任意的,為無理數(shù)).
(1)已知,并且對任意的恒成立,試求的通項公式.
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對任意的,恒成立的充要條件為.
(3)已知,,對任意的,恒成立,試計算.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點,1和是函數(shù)的兩個不同零點,且,求.
(2)若對任意,都存在(為自然對數(shù)的底數(shù)),使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大學生在開學季準備銷售一種文具盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學季內,每售出1盒該產品獲利潤50元,未售出的產品,每盒虧損30元.根據歷史資料,得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學為這個開學季購進了160盒該產品,以(單位:盒,)表示這個開學季內的市場需求量,(單位:元)表示這個開學季內經銷該產品的利潤.
(I)根據直方圖估計這個開學季內市場需求量的眾數(shù)和中位數(shù);
(II)將表示為的函數(shù);
(III)根據直方圖估計利潤不少于4800元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設橢圓的中心為原點,長軸在軸上,上頂點為,左、右焦點分別為,線段的中點分別為,且是面積為的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過作直線交橢圓于兩點,使,求的面積.
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