Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0，|θ|＜

π

2

）圖象的對稱中心與函數g（x）=tan（x+ϕ）圖象的對稱中心完全相同，且當x=

π

6

時，函數f（x）取得最大值，則函數f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：依題意，知f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0）的周期與g（x）=tan（x+ϕ）的周期相同，從而可求得ω=2；繼而可求得θ，從而可得函數y=f（x）的解析式．

解答： 解：設f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0）的周期為T，則T=

2π

ω

；
∵函數g（x）=tan（x+ϕ）的周期為π，圖象的對稱中心為（

kπ

2

+ϕ，0），
函數f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0，|θ|＜

π

2

）圖象的對稱中心與函數g（x）=tan（x+ϕ）圖象的對稱中心完全相同，
∴

1

2

T=

π

2

，即T=

2π

ω

=π（y=f（x）與y=g（x）的周期相同），解得ω=2；
又當x=

π

6

時，函數f（x）取得最大值2，
∴2×

π

6

+θ=2kπ+

π

2

，k∈Z．
∴θ=2kπ+

π

6

，k∈Z．
又|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
故答案為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．

點評：本題考查三角函數解析式的確定，著重考查正切函數與正弦函數的周期性與對稱性，求得ω=2是難點，也是關鍵，考查理解與應用能力，屬于中檔題．