Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5。過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M，
（1）求拋物線的方程；
（2）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K（m，0）是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系。

Answer 1

解：（1）拋物線y²=2px的準線為，
于是，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）∵點A的坐標是（4，4），
由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），
∴，
∴，
則FA的方程為y=（x-1），MN的方程為，
解方程組，
∴；
（3）由題意得，圓M的圓心是點（0，2），半徑為2，
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離；
當m≠4時，直線AK的方程為，即為，
圓心M（0，2）到直線AK的距離，
令d＞2，解得m＞1；
∴當m＞1時，直線AK與圓M相離；當m=1時，直線AK與圓M相切；當m＜1時，直線AK與圓M相交。