Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且當x∈[0，1]時f（x）=-x²+1，則方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有實根之和為（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由f（x+2）=-f（x），可知f（x）是周期為4的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=-x²+1，可得函數(shù)在[-1，5]上的解析式．利用數(shù)形結合即可得到方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有實根之和．

解答： 解：∵對任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=f（x），
故f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=-x²+1，
即x∈[-1，1]時，f（x）=-x²+1，對稱軸為x=0，
當1≤x≤3時，-1≤x-2≤1，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
此時f（x）=-f（x-2）=-[-（x-2）²+1]=（x-2）²-1．當3≤x≤5時，-1≤x-4≤1，
此時f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1．
作出函數(shù)f（x）在[-1，5]的圖象如圖：
由圖象可知當1≤x≤3時，對稱軸為x=2，
當3≤x≤5時，對稱軸為x=4，
則當k∈[0，1），函數(shù)f（x）與y=k，有4個交點，
它們分別關于x=0，x=4對稱，
設對稱的交點的橫坐標分別為x₁，x₂，x₅，x₆，
則x₁+x₂=0，x₅+x₆=2×4=8，
∴方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有實根之和為0+8=8，
故選：D

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)函數(shù)的零點與方程的根的關系是解決本題的關鍵，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想．