Question

已知A、D分別為橢圓E： 的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率，F_1­、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的任一點(diǎn)，且的最大值為1 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)直線l與圓相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B₁，當(dāng)R為何值時(shí)，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

Answer 1

（1）；（2）存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B；（3）1.

本試題主要是考查了橢圓的 方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用并結(jié)合了直線與圓的位置關(guān)系來考查線段長度的最值問題的運(yùn)用。
（1）設(shè)P (x，y)，F₁ (–c，0)，F₂（c，0），其中
則
看作線段AD上的點(diǎn)P (x，y)到原點(diǎn)距離的平方，
∴P在A點(diǎn)，x² + y²最大，∴a² – c² = 1，
又．………………4分
（2）由（1）知橢圓方程為，
①設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y = kx + t，．
解方程組……………5分
要使切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，則使
即，………………………………6分

要使
所以5t² – 4k² – 4 = 0，即5t² = 4k² + 4且t²＜4k² + 1，即4k² + 4＜20k² + 5恒成立．
又因?yàn)橹本�y = kx + t為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r =……………7分
②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為滿足．
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B．                       ……………………8分
（3）設(shè)直線l的方程為y = mx + n，因?yàn)橹本�l與圓C：x² + y² = R² (1＜R＜2)相切于A₁，
由（2）知 ①，   因?yàn)?i>l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁，由（2）知有唯一解，
則即4m² – n² + 1 = 0，  ②
由①②得此時(shí)A，B重合為B₁ (x₁，y₁)點(diǎn)，由x₁ = x₂，所以B₁ (x₁，y₁)點(diǎn)在橢圓上，所以
，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|² = |OB₁|² – |OA₁|² =
5
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232121477521045.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)取等號，所以
即當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．………………………………13分