Question

19．已知f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）若f（log₃x）=0，求x的值．；
（2）若x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程log₂f（x）=log₂（ax+1）的解集中恰有一個(gè)元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)f（log₃x）=0可得${log_3}x-\frac{1}{{{{log}_3}x}}=0$，利用換元法，設(shè)t=log₃x即可求解．
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)，由已知，m≠0，$mx-\frac{1}{mx}+m（x-\frac{1}{x}）＜0$，分離參數(shù)，討論可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）根據(jù)log₂f（x）=log₂（ax+1）轉(zhuǎn)化為$x-\frac{1}{x}=ax+1$，根據(jù)$x-\frac{1}{x}＞0$求出-1＜x＜0或x＞1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程$x-\frac{1}{x}=ax+1$在區(qū)間（-1，0）∪（1，+∞）有且只有一個(gè)解，即方程（a-1）x²+x+1=0在（-1，0）∪（1，+∞）有且只有一個(gè)解．對(duì)a進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）∵f（log₃x）=0
∴${log_3}x-\frac{1}{{{{log}_3}x}}=0$，
設(shè)t=log₃x，
可得$t-\frac{1}{t}=0$，即$\frac{{{t^2}-1}}{t}=0$
解得：t=1或t=-1
故得x=3或$x=\frac{1}{3}$．
（2）由已知，m≠0，$mx-\frac{1}{mx}+m（x-\frac{1}{x}）＜0$
∵x∈[1，+∞）
∴$m{x^2}-\frac{1}{m}+m{x^2}-m＜0$
∴$2m{x^2}＜\frac{1}{m}+m$
（1）當(dāng)m＞0時(shí)，${x^2}＜\frac{1}{2}+\frac{1}{{2{m^2}}}$，∴對(duì)任意x∈[1+∞），此式不能恒成立；
（2）當(dāng)m＜0時(shí)，${x^2}＞\frac{1}{2}+\frac{1}{{2{m^2}}}$；
∵x∈[1+∞），可得x²_min=1，
∴$1＞\frac{1}{2}+\frac{1}{{2{m^2}}}$
∴m²＞1
∵m＜0
∴m＜-1
綜上：m＜-1．
（3）∵log₂f（x）=log₂（ax+1）
∴$x-\frac{1}{x}=ax+1$
∵$x-\frac{1}{x}＞0$
∴-1＜x＜0或x＞1
本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程$x-\frac{1}{x}=ax+1$在區(qū)間（-1，0）∪（1，+∞）有且只有一個(gè)解，
即方程（a-1）x²+x+1=0在（-1，0）∪（1，+∞）有且只有一個(gè)解．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，x=-1不滿足題意．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)g（x）=（a-1）x²+x+1，開口向上，對(duì)稱軸$x=-\frac{1}{2（a-1）}＜0$，
①當(dāng)△=0時(shí)，即$a=\frac{5}{4}$時(shí)，此時(shí)x=-2不滿足題意．
②當(dāng)△＜0時(shí)，即$a＞\frac{5}{4}$時(shí)，此時(shí)方程無(wú)解，不滿足題意．
③當(dāng)△＞0時(shí)，即$1＜a＜\frac{5}{4}$時(shí)，g（-1）=a-1＞0，則兩根均在（-1，0）或均在（1，+∞），不滿足題意．
（3）當(dāng)a＜1時(shí)，設(shè)g（x）=（a-1）x²+x+1，開口向下，對(duì)稱軸$x=-\frac{1}{2（a-1）}＞0$，
∵g（0）=1＞0，g（-1）=a-1＜0，
∴存在x₀∈（-1，0）使g（x₀）=0，若滿足題意，另一根必在（0，1]內(nèi)，
∴g（1）≤0，即a+1≤0，
∴a≤-1
綜上可得：a≤-1．即a的取值范圍時(shí)（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的計(jì)算，二次函數(shù)的系數(shù)的討論和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．分離參數(shù)的求解．屬于難題．