Question

如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4．
（1）求證：PQ⊥平面ABCD；
（2）求點(diǎn)P到平面QAD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，QM，證明PQ⊥AD，PQ⊥AB，即可證明PQ⊥平面ABCD；
（2）證明PM⊥平面QAD，可得PM的長是點(diǎn)P到平面QAD的距離，即可求點(diǎn)P到平面QAD的距離．

解答： （1）證明：取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，QM．
因?yàn)镻-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM，從而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD．
同理PQ⊥AB．
又AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AD∩AB=A，所以PQ⊥平面ABCD．
（2）解：連結(jié)OM，則OM=

1

2

AB=2=

1

2

PQ．
所以∠PMQ=90°，即PM⊥MQ．
由（1）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD．
所以PM的長是點(diǎn)P到平面QAD的距離．
在Rt△PMO中，PM=

PO2+OM2

=

22+22

=2

2

．
所以點(diǎn)P到平面QAD的距離為2

2

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定PM的長是點(diǎn)P到平面QAD的距離是關(guān)鍵．