Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）= x2﹣bx（b為常數(shù)）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若b≥2，x1 ， x2∈[1，2]，且x1≠x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）=lnx，所以 ，因此f'（1）=1，

所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1，

由 得x2﹣2（b+1）x+2=0．

由△=4（b+1）2﹣8=0，得 ．

（還可以通過導(dǎo)數(shù)來求b）

（2）解：因?yàn)閔（x）=f（x）+g（x）= （x＞0），

所以 ，

由題意知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，

因?yàn)閤＞0，設(shè)u（x）=x2﹣bx+1，因?yàn)閡（0）=1＞0，

則只要 ，解得b＞2，

所以b的取值范圍是（2，+∞）

（3）解：不妨設(shè)x1＞x2，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，

所以f（x1）＞f（x2），

函數(shù)g（x）圖象的對稱軸為x=b，且b＞2．

當(dāng)b≥2時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，

所以g（x1）＜g（x2），

所以|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，

等價于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），

即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），

等價于h（x）=f（x）+g（x）= 在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，

等價于 在區(qū)間[1，2]上恒成立，

等價于 在區(qū)間[1，2]上恒成立，所以b≤2，又b≥2，所以b=2

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出b的值即可；（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于b的不等式組，解出即可；（3）問題等價于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），即h（x）=f（x）+g（x）= 在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．