Question

【題目】已知整數(shù)n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A1 ， A2 ， A3 ， …， ．
設(shè)A1 ， A2 ， A3 ， …， 中所有元素之和為Sn ．
（1）求S4 ， S5 ， S6并求出Sn；
（2）證明：S4+S5+…+Sn=10Cn+26 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=4時(shí)，集合M只有1個(gè)符合條件的子集，S4=1+2+3+4=10，

當(dāng)n=5時(shí)，集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了 次，S5= =40，

當(dāng)n=6時(shí)，集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了 次，S6= =140，

所以，當(dāng)集合M有n個(gè)元素時(shí)，每個(gè)元素出現(xiàn)了 ，故Sn=

（2）證明：由（1）可得Sn= ．

∵Sn= = ，

則S4+S5+…+Sn=10（ ）= ．

得證

【解析】（1）根據(jù)新定義，直接計(jì)算n=4，5，6集合M的子集．歸納法得出Sn ． （2）利用組合的公式展開各項(xiàng)計(jì)算即可得證．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用子集與真子集和組合與組合數(shù)的公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握任何一個(gè)集合是它本身的子集；n個(gè)元素的子集有2n個(gè),n個(gè)元素的真子集有2n －1個(gè),n個(gè)元素的非空真子集有2n－2個(gè)；從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．