Question

【題目】已知圓C的圓心坐標(biāo)且與線y=3x+4相切，

（1）求圓C的方程；

（2）設(shè)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，那么以MN為直徑的圓能否經(jīng)過原點(diǎn)，若能，請求出直線MN的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x-2）2+y2=10（2）y=-x+1+或y=-x+1-

【解析】

（1）由直線與圓相切得，圓心到直線的距離即為半徑，從而得解；

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），進(jìn)而通過直線與圓聯(lián)立得到2x2-（4+2m）x+m2-6=0，由韋達(dá)定理可得MN中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，），假設(shè)以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則有|OH|=|MN|，進(jìn)而由垂徑定理及坐標(biāo)表示距離列方程求解即可.

（1）根據(jù)題意，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）2+y2=10；

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）是直線y=-x+m與圓C的交點(diǎn)，

聯(lián)立y=-x+m與（x-2）2+y2=10可得：2x2-（4+2m）x+m2-6=0，

則有x1+x2=m+2，x1x2=，

則MN中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，），

假設(shè)以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則有|OH|=|MN|，

圓心C到MN的距離d=，

則有|MN|=2=2，

又由|OH|=|MN|，

則有（）2+（）2=10-，

解可得m=1±，

經(jīng)檢驗(yàn)，m=1±時，直線與圓相交，符合題意；

故直線MN的方程為：y=-x+1+或y=-x+1-．