Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x（a∈R）的一個極值點，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，2]，有t-e≤f（x）恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x），由題意可得f′（1）=0，解出即可；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[0，2]上的最小值f（x）_min，由t-e≤f（x）_min可求；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax-2）e^x，
∴f′（x）=（ax+a-2）e^x，
∵x=1是函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x（a∈R）的一個極值點，
∴f′（1）=0，即（2a-2）e=0，解得a=1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）e^x，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）=（x-1）e^x＜0，f（x）在[0，1]單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）=（x-1）e^x＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴在區(qū)間[0，2]上，f（x）的最小值為f（1）=-e，
t-e≤f（x）恒成立，即t-e≤-e，
∴t≤0．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵是把問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．