Question

【題目】若函數滿足：對于任意正數、，都有，，且，則稱函數為“函數”.

（1）試判斷函數與是否是“函數”；

（2）若函數為“函數”，求實數的取值范圍；

（3）若函數為“函數”，且，求證：對任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用定義結合作差法來判斷出函數與是否是“函數”；

（2）根據定義可知，即對切正實數恒成立，可得出，由可得出，由此可得出實數的取值范圍；

（3）根據定義，令，可知，即，故對于正整數和正實數，都有，然后利用定義證明出對任意的，，，利用不等式的基本性質即可證明出結論.

（1）對于函數，

當、時，，

即.

對于函數，

當、時，，

因此，函數是“函數”，函數不是“函數”；

（2）由于函數是“函數”，

當時，則，，

即，，

由題意知，不等式對任意的正實數恒成立，則，得.

當、時，由，

得，

整理得，

即，

即，即，

、時，，，可得出，

則不等式對一切正實數、恒成立，，解得.

因此，實數的取值范圍是；

（3）由于函數是“函數”，

可知對于任意的正實數、，都有，，且，

令，得，則.

故對于任意的正整數和正實數，，

對于任意的，可得，

又，所以，，

同理，

因此，.