Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a值；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求出導函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值，則f′（0）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（2）先求出a的范圍，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當0＜a≤

1

2

時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞增，則f_max（x）=f（a），
當

1

2

＜a＜

2

2

時，f（x）在(a2，

1

2

)單調(diào)遞增，在(

1

2

，a)單調(diào)遞減，f_max（x）=f（

1

2

），
當

2

2

≤a＜1時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞減，則f_max（x）=f（a²），從而求出所求．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，∴函數(shù)的定義域為（0，+∞）．      
∴f′（x）=

1

x

-2ax+（a-2）=

1-2ax2+(a-2)x

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

．     
∵f（x）在x=1處取得極值，
即f′（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1．                                                     
當a=-1時，在（

1

2

，1）內(nèi)f′（x）＜0，在（1，+∞）內(nèi)f′（x）＞0，
∴x=1是函數(shù)y=f（x）的極小值點．∴a=-1．                    
（Ⅱ）∵a²＜a，∴0＜a＜1．                                             
f′（x）=

1

x

-2ax+（a-2）=

1-2ax2+(a-2)x

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

．
∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增；在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
①當0＜a≤

1

2

時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（a）=lna-a³+a²-2a；                          
②當

a＞ 1 2 a2＜ 1 2

，即

1

2

＜a＜

2

2

時，f（x）在（a²，

1

2

）單調(diào)遞增，在（

1

2

，a）單調(diào)遞減，
∴f_max（x）=f（

1

2

）=-ln2-

a

4

+

a-2

2

=

a

4

-1-ln2；                    
③當

1

2

≤a²，即

2

2

≤a＜1時，f（x）在[a²，a]單調(diào)遞減，
∴f_max（x）=f（a²）=2lna-a⁵+a³-2a²．                           
綜上所述，當0＜a≤

1

2

時，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
當

1

2

＜a＜

2

2

時，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是

a

4

-1-ln2；
當a≥

2

2

時，函數(shù)y=f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是一道綜合題，有一定的難度，屬于中檔題．