Question

已知△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的外接圓的半徑為

2

，且asinA-csinC=（a-b）sinB．
（1）求∠C；
（2）求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)求出sinC的值，利用正弦定理表示出a與b，再利用三角形面積公式表示出S，將a，b，sinC代入，用A表示出B，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出S的最大值．

解答： 解：（1）已知等式asinA-csinC=（a-b）sinB，利用正弦定理化簡得：a²-c²=ab-b²，
∴a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=

π

3

；
（2）∵sinC=sin

π

3

=

3

2

，

a

sinA

=

b

sinB

=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，
∴S=

1

2

absinC=

3

4

•2RsinA•2RsinB=2

3

sinAsinB，
∵A+B=π-C=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
代入上式得：S=

1

2

absinC=2

3

sinAsinB=2

3

sinAsin（

2π

3

-A）
=2

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

3

（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+

1

2

）=

3

sin（2A-

π

6

）+

3

2

≥

3

+

3

2

=

3 3

2

，
則當2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，S_max=

3 3

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．