【題目】已知拋物線：（）與橢圓：相交所得的弦長為．

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)，是上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且為定值（）時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線恒過定點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線與橢圓交于，兩點，由對稱性得，代入得的值；（Ⅱ）欲求證直線恒過定點，可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)的直線的方程，再結(jié)合為定值即可證得．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線與橢圓交于，兩點．

由橢圓的對稱性可知，，，

將點代入拋物線中，得，

再將點代入橢圓中，得，解得．

故拋物線的標準方程為．

（Ⅱ）設(shè)點，，

由題意得（否則，不滿足），且，，

設(shè)直線，的方程分別為，，

聯(lián)立，解得，，聯(lián)立，解得，；

則由兩點式得，直線的方程為．

化簡得．①

因為，由，得，得，②

將②代入①，化簡得，得．

得，

得，

得，

即．

令，不管取何值，都有．

所以直線恒過定點．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】已知函數(shù)f（x）=，其中0<a<1，k∈Ｒ。

（Ⅰ）若k=1，求函數(shù)f（x）的定義域；

（Ⅱ）若a=，且f（x）在[1，+∞）內(nèi)總有意義，求k的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，（，）．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在以為首項，公比為（，）的數(shù)列，使得數(shù)列的每一項都是數(shù)列的不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．

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【題目】設(shè)圓的圓心在軸上，并且過兩點.

(1)求圓的方程；

(2)設(shè)直線與圓交于兩點，那么以為直徑的圓能否經(jīng)過原點，若能，請求出直線的方程；若不能，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：（）與橢圓：相交所得的弦長為

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)，是上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且為定值（）時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD＝1，PA＝PC＝.

（1）求證：PD⊥平面ABCD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(請選做其中一題)

（1）請推導(dǎo)等差數(shù)列及等比數(shù)列前項和公式；

（2）如果你在海上航行，請設(shè)計一種測量海上兩個小島之間距離的方法并作圖說明；

（3）某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米，如果池底每平米的造價為150元，池壁每平米造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使造價最低？最低總造價是多少？

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【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當時，函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的范圍；

（2）討論的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為．

（1）求事件“”的概率；

（2）求事件“”的概率．

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