Question

已知數(shù)列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
（2）試用其它方法求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)S_k=

k

3k+1

，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立；
（2）利用裂項(xiàng)法，可求S_n．

解答： 解：（1）因?yàn)?nbsp;S1=

1

1×4

=

1

4

；S2=

1

4

+

1

4×7

=

2

7

；S3=

2

7

+

1

7×10

=

3

10

；S4=

3

10

+

1

10×13

=

4

13

．
可以看出，上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1．于是猜想Sn=

n

3n+1

．…（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．
ⅰ當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S1=

1

4

，右邊=

n

3n+1

=

1

3×1+1

=

1

4

，猜想成立．
ⅱ假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，即

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3k-2)(3k+1)

=

k

3k+1

，
那么

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3k-2)(3k+1)

+

1

[3(k+1)-2)][3(k+1)+1]

=

k

3k+1

+

1

[3(k+1)-2)][3(k+1)+1]

=

3k2+4k+1

(3k+1)(3k+4)

=

(3k+1)(k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
根據(jù)ⅰ和ⅱ，可知猜想對任何n∈N^*時(shí)都成立．…（12分）
（2）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

{(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)}
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

…（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)的基本步驟：（1）檢驗(yàn)n=1成立（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗(yàn)n=k+1的遞推．