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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,是橢圓上一動點(與左、右頂點不重合)已知的內切圓半徑的最大值為,橢圓的離心率為.

1)求橢圓C的方程;

2)過的直線交橢圓兩點,過軸的垂線交橢圓與另一點不與重合).的外心為,求證為定值.

【答案】12)見解析

【解析】

1)當面積最大時,最大,即點位于橢圓短軸頂點時,即可得到的值,再利用離心率求得,即可得答案;

2)由題意知,直線的斜率存在,且不為0,設直線,代入橢圓方程得.,利用弦長公式求得,利用的垂直平分線方程求得的坐標,兩個都用表示,代入中,即可得答案.

1)由題意知:,,.

的內切圓半徑為,

,

故當面積最大時,最大,即點位于橢圓短軸頂點時,

所以,把代入,解得:,

所以橢圓方程為.

2)由題意知,直線的斜率存在,且不為0,設直線

代入橢圓方程得.

,則,

所以的中點坐標為

所以.

因為的外心,所以是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點,的垂直平分線方程為,

,得,即,所以

所以,所以為定值,定值為4.

練習冊系列答案
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(。┯浽搹S每月獲利為萬元,求的分布列與數學期望;

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