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【題目】如圖,四棱錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形, 為棱上的動點,且.

(I)求證： 為直角三角形；

(II)試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

【答案】（1）見解析；(II) .

【解析】試題分析：（1）取中點,連結,以為原點， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明為直角三角形；（2）設，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根據空間向量夾角余弦公式能求出結果.

試題解析：(I)取中點,連結，依題意可知均為正三角形，所以,

又平面平面，

所以平面，

又平面，所以,

因為,所以，即,

從而為直角三角形.

說明:利用 平面證明正確,同樣滿分!

(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,

平面，所以平面.

以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示,則

,

由可得點的坐標

所以,

設平面的法向量為，則,

即解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量為,

依題意，

解得或（舍去），

所以，當時，二面角的余弦值為.

[傳統(tǒng)法]由(I)可知平面,所以,

所以為二面角的平面角，

即,

在中， ,

所以

，

由正弦定理可得，即

解得，

又,所以,

所以，當時，二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數

頻率

10

0.25

25

2

0.05

合計

1

（1）求出表中及圖中的值；

（2）試估計他們參加社區(qū)服務的平均次數；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至少1人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間內的概率.

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（Ⅰ）求證： ∥平面；

（Ⅱ）求證： 平面．

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【題目】已知圓： （），設為圓與軸負半軸的交點，過點作圓的弦，并使弦的中點恰好落在軸上．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）延長交曲線于點，曲線在點處的切線與直線交于點，試判斷以點為圓心，線段長為半徑的圓與直線的位置關系，并證明你的結論．

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【題目】已知函數（， ），曲線在處的切線方程為.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）已知滿足的常數為.令函數（其中是自然對數的底數， ），若是的極值點，且恒成立，求實數的取值范圍.

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【題目】某校高三年級一次數學考試后，為了解學生的數學學習情況，隨機抽取名學生的數學成績，制成表所示的頻率分布表.

組號

分組

頻數

頻率

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

合計

（1）求、、的值；

（2）若從第三、四、五組中用分層抽樣方法抽取名學生，并在這名學生中隨機抽取名學生與張老師面談，求第三組中至少有名學生與張老師面談的概率

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（1）若出現癥狀即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率；

（2）若在一個接種周期內出現3次 癥狀，則這個接種周期結束后終止試驗，試驗至多持續(xù)3個周期，設接種試驗持續(xù)的接種周期數為 ，求 的分布列及數學期望．

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【題目】已知函數．

（1）若，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍．

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