Question

【題目】已知橢圓與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn)，，.若的最小值為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)的面積S最大時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，，將直線與橢圓C聯(lián)立，可得和，求出點(diǎn)O到直線l的距離，即可求出的面積S的表達(dá)式，利用基本不等式，求面積S的最大值，根據(jù)最大值的成立條件和前面求出的和，可得點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而可得的范圍，將轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可求出的取值范圍.

解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知，，則

，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，

，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，，則

由得，

，，

點(diǎn)O到直線l的距離，

，

S取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)即，①

此時(shí)，，

即，代入①式整理得，，

即點(diǎn)M的軌跡為橢圓，

且點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，即，

記，則，

從而，則，

令可得，即在T在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

且，，

故T的取值范圍為.