【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=BB1=1,B1C=2.

(1)求證:平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(2)求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:由直三棱柱性質(zhì),B1B⊥平面ABC;

∴B1B⊥AC;

又AB⊥AC,B1B∩BA=B;

∴AC⊥平面ABB1A1,AC平面B1AC;

∴平面B1AC⊥平面ABB1A1;


(2)解:如圖,連接A1B交AB1于M,連接CM;

∵AB=BB1;

∴A1B1=AA1;

∴A1M⊥AB1;

∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A;

∴A1M⊥平面B1AC;

∴∠A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角;

∵AB=BB1=1,B1C=2;

∴BC= ,AC= ;

;

∴直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為


【解析】(1)根據(jù)直三棱柱的定義便可得到AC⊥B1B,再根據(jù)條件AC⊥AB便可得出AC⊥平面ABB1A1 , 從而由面面垂直的判定定理即可得出平面B1AC⊥平面ABB1A1;(2)可連接A1B,設(shè)交AB1于M,可得到A1M⊥AB1 , 從而由面面垂直的性質(zhì)定理得到A1M⊥平面B1AC,這樣∠A1CM便是直線A1C與平面B1AC所成的角,根據(jù)條件便可求出A1M和A1C的長,由 即可得出直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值.
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則即可以解答此題.

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API

[0,50]

(50,100]

(100,150]

(150,200]

(200,300]

>300

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

輕度污染

中度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

20

15


(1)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30 天是在供暖季,其中有8 天為嚴重污染.根據(jù)提
供的統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成下面的2×2 列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“該城市本年的
空氣嚴重污染與供暖有關(guān)”?

非重度污染

嚴重污染

合計

供暖季

非供暖季

合計

100


(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x 的關(guān)系式為y= 試估計該企業(yè)一個月(按30 天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2=

P(K2≥k)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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