Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2的定義域是R，f′（x）=ex﹣a，

若a≤0，則f′（x）=ex﹣a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．

若a＞0，則當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＜0；

當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＞0；

所以，f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）解：由于a=1，所以，（x﹣k） f（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1

故當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k） f（x）+x+1＞0等價(jià)于k＜ （x＞0）①

令g（x）= ，則g′（x）=

由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

而h（1）＜0，h（2）＞0，

所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，

故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為α，則有α∈（1，2）

當(dāng)x∈（0，α）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；

所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．

又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）

由于①式等價(jià)于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2．

【解析】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母a，故應(yīng)按a的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間；（2）由題設(shè)條件結(jié)合（1），將不等式，（x﹣k） f（x）+x+1＞0在x＞0時(shí)成立轉(zhuǎn)化為k＜ （x＞0）成立，由此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g（x）= 在x＞0上的最小值問(wèn)題，求導(dǎo)，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值；
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．