Question

已知平面上三個(gè)向量

OA

，

OB

，

OC

，滿(mǎn)足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=2，

OA

•

OB

=0，則

CA

•

CB

最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于滿(mǎn)足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=2，

OA

•

OB

=0，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得A（1，0），B(0，

3

)，可設(shè)C（2cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性即可得出．

解答： 解：∵滿(mǎn)足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=2，

OA

•

OB

=0，
如圖所示，
∴A（1，0），B(0，

3

)，
可設(shè)C（2cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．
∴

CA

=（1-2cosθ，-2sinθ），

CB

=(-2cosθ，

3

-2sinθ)，
∴

CA

•

CB

=-2cosθ(1-2cosθ)-2sinθ(

3

-2sinθ)
=-2cosθ-2

3

sinθ+4
=-4(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)+4
=-4sin(θ+

π

6

)+4≤8，當(dāng)且僅當(dāng)θ=

4π

3

時(shí)取等號(hào)．
∴

CA

•

CB

最大值是8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性，屬于中檔題．