Question

【題目】超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來(lái)越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径�引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中，，…，（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)任意的（），都有.

（i）證明：為等比數(shù)列；

（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，，

，，，

Answer 1

【答案】（1）（且）；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）8.

【解析】

（1）根據(jù)檢驗(yàn)方式可知，的取值只為，易求得，而的可能取值為，再分別求出對(duì)應(yīng)概率即可得到，列出等式即可解出；

（2）（i）先根據(jù)關(guān)系式賦值，，歸納猜出，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

（ii）依題可知，，解不等式， ，構(gòu)造函數(shù)（），由其單調(diào)性即可求出的最大值．

（1）當(dāng)進(jìn)行逐份檢驗(yàn)時(shí)，；

當(dāng)進(jìn)行混合檢驗(yàn)時(shí)，，

則

∵，∴

則，即（且）.

（2）（i）當(dāng)時(shí)，有

則猜想：

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

①當(dāng)時(shí)，滿足

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，

設(shè)（且），則

∴

∴

∴

整理可得：

∴或（舍去）

由①②可得：對(duì)一切都成立.

即為等比數(shù)列.

（ii）依題可知：

由（1）可知：

∴

令（），則

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∵，

則k的最大值為8.