Question

【題目】當(dāng)今世界科技迅猛發(fā)展，信息日新月異．為增強(qiáng)全民科技意識(shí)，提高公眾科學(xué)素養(yǎng)，某市圖書(shū)館開(kāi)展了以“親近科技、暢想未來(lái)”為主題的系列活動(dòng)，并對(duì)不同年齡借閱者對(duì)科技類(lèi)圖書(shū)的情況進(jìn)行了調(diào)查．該圖書(shū)館從只借閱了一本圖書(shū)的借閱者中隨機(jī)抽取100名，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

	借閱科技類(lèi)圖書(shū)（人）	借閱非科技類(lèi)圖書(shū)（人）
年齡不超過(guò)50歲	20	25
年齡大于50歲	10	45

（1）是否有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類(lèi)圖書(shū)有關(guān)？

（2）該圖書(shū)館為了鼓勵(lì)市民借閱科技類(lèi)圖書(shū)，規(guī)定市民每借閱一本科技類(lèi)圖書(shū)獎(jiǎng)勵(lì)積分2分，每借閱一本非科技類(lèi)圖書(shū)獎(jiǎng)勵(lì)積分1分，積分累計(jì)一定數(shù)量可以用積分換購(gòu)自己喜愛(ài)的圖書(shū)．用表中的樣本頻率作為概率的估計(jì)值．

（i）現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書(shū)，記此3人增加的積分總和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ii）現(xiàn)從只借閱一本圖書(shū)的借閱者中選取16人，則借閱科技類(lèi)圖書(shū)最有可能的人數(shù)是多少？

附：K2，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類(lèi)圖書(shū)有關(guān)；（2）（i）分布列詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為3.9；（ii）5人．

【解析】

（1）根據(jù)K2的表達(dá)式代入計(jì)算即可判斷；

（2）（i）由題知借閱科技類(lèi)圖書(shū)的概率P，若這3人增加的積分總和為隨機(jī)變量ξ，分別計(jì)算出P（ξ＝3），P（ξ＝4），P（ξ＝5），P（ξ＝6），即可得到分布列及期望；

（ii）根據(jù)題意得隨機(jī)變量X滿足X～B（16，）的二項(xiàng)分布，列出不等式組，解出即可

解：（1）K28.129＞6.635，

所以有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類(lèi)圖書(shū)有關(guān)；

（2）（i）因?yàn)橛帽碇械臉颖绢l率作為概率的估計(jì)值，所以借閱科技類(lèi)圖書(shū)的概率P，

因?yàn)?/span>3名借閱者每人借閱一本圖書(shū)，這3人增加的積分總和為隨機(jī)變量ξ，

所以隨機(jī)變量ξ的可能取值為3，4，5，6，

P（ξ＝3）

P（ξ＝4）

P（ξ＝5）

P（ξ＝6），

從而ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P

所以E（ξ）＝34563.9；

（ii）記16人中借閱科技類(lèi)圖書(shū)的人數(shù)為X，則隨機(jī)變量X滿足二項(xiàng)分布X～B（16，）

設(shè)借閱科技類(lèi)圖書(shū)最有可能的人數(shù)時(shí)k（k＝0，1，2，……，16）

則，

而，，

解得4.1≤k≤5.1，

故k＝5，

所以16人借閱科技類(lèi)圖書(shū)最有可能的人數(shù)是5人