【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，試證明：．

【答案】（1）在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導得，再對分成和兩種情況討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將不等式等價于，再對分成和兩種情況討論.

（1）由 知：

（i）若，，∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)．

（ii）若，

∴當時，有，∴ 在區(qū)間上為減函數(shù)．

當時，有，∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)．

綜上：當時，在區(qū)間上為增函數(shù)；

當時，在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．

（2）若，則

要證，只需證，

即證：.

（i）當時，，而

∴此時成立.

（ii）當時，令，，

∵ ，

設，

則

，∴

∴當時，單調(diào)遞增，∴，即

∴在單調(diào)遞增，∴

即，即，

∴

綜上：當時，有成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)且在上的最大值為，

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠，擬在2017年度進行系列促銷活動．經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀念品的年銷售量x（單位：萬件）與年促銷費用t（單位：萬元）之間滿足3－x與t＋1成反比例．若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2017年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時，則當年的產(chǎn)量和銷量相等．（利潤＝收入－生產(chǎn)成本－促銷費用）

（1）請把該工廠2017年的年利潤y（單位：萬元）表示成促銷費t（單位：萬元）的函數(shù)；

（2）試問：當2017年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了了解居民的家庭收人情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機抽取了戶家庭進行問卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在元到元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左至右第一 、二、四小組的頻率之比為,且第四小組的頻數(shù)為.

(1)求;

(2)求這戶家庭月收人的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果精確到);

(3)這戶家庭月收入在第一、二、三小組的家庭中,用分層抽樣的方法任意抽取戶家庭,并從這戶家庭中隨機抽取戶家庭進行慰問,求這戶家庭月收入都不超過元的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，無窮數(shù)列的首項．

（1）如果，寫出數(shù)列的通項公式；

（2）如果（且），要使得數(shù)列是等差數(shù)列，求首項的取值范圍；

（3）如果（且），求出數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件，為激發(fā)大家的學習興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下列數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，……，以此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪，那么該軟件的激活碼是________。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，多面體中，，平面⊥平面，四邊形為矩形，∥，點在線段上，且.

(1)求證：⊥平面；

(2)若，求多面體被平面分成的大、小兩部分的體積比.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】讀書可以使人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣書籍是文化的重要載體，讀書是承繼文化的重要方式某地區(qū)為了解學生課余時間的讀書情況，隨機抽取了名學生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的學生日均課余讀書時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，將日均課余讀書時間不低于分鐘的學生稱為“讀書之星”，日均課余讀書時間低于分鐘的學生稱為“非讀書之星”:已知抽取的樣本中日均課余讀書時間低于分鐘的有人

(1)求的值;

(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認為“讀書之星”與性別有關(guān)?

非讀書之星

讀書之星

總計

男

女

總計

(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該地區(qū)大量學生中，隨機抽取名學生，每次抽取名，已知每個人是否被抽到互不影響，記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望

附：，其中.

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