Question

【題目】已知數(shù)列{an}（n=1，2，3，…）滿足an+1=2an ， 且a1 ， a2+1，a3成等差數(shù)列，設(shè)bn=3log2an﹣7．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2an，可得{an}為等比數(shù)列，其公比為2，

a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，可得2（1+a2）=a1+a3，

即為2（1+2a1）=a1+4a1，解得a1=2，

即有an=a1qn﹣1=2n；

bn=3log2an﹣7=33log22n﹣7=3n﹣7；

（2）解：由bn=3n﹣7，可得{bn}的前n項(xiàng)和為Sn= n（3n﹣11），

當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn＜0，即有Tn=﹣Sn═ n（11﹣3n）；

當(dāng)n≥3，n∈N，可得Tn=Sn﹣S2﹣S2= n（3n﹣11）+10= ．

綜上可得，Tn= ．

【解析】（1）由等比數(shù)列的定義可得公比為2，再由等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)為2，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得{bn}的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，對(duì)n討論，當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn＜0，即有Tn=﹣Sn；當(dāng)n≥3，n∈N，可得Tn=Sn﹣2S2 ， 化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：或；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．