Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是它的前n項(xiàng)和，且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），b_n=a_n+1-2a_n，c_n=a_n+1-a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求a_n；
（3）求證：{c_n}是遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=4a_n+2可得：S_n=4a_n-1+2兩式作差得：構(gòu)造a_n+1-2a_n從而得證；
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1兩邊同除以2ⁿ⁺¹構(gòu)造$\frac{a_n}{2^n}$，即可得證．
（3）求出{c_n}的通項(xiàng)公式，證明$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$＞1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n+1=4a_n+2可得：S_n=4a_n-1+2
兩式作差得：a_n+1=4a_n-4a_n-1
可轉(zhuǎn)化為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又a₃-2a₂=2（a₂-2a₁）
∴b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），{b_n}是等比數(shù)列，則b_n=3×2^n-1
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1
兩邊同除以2ⁿ⁺¹得：
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{3}{4}$
∴{$\frac{a_n}{2^n}$}是等差數(shù)列，則$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）$=$\frac{3n-1}{4}$，則a_n=$\frac{3n-1}{4}$•2ⁿ．
（3）c_n=a_n+1-a_n=$\frac{3n+2}{4}$•2ⁿ⁺¹-$\frac{3n-1}{4}$•2ⁿ=$\frac{3n+5}{4}$•2ⁿ，
則$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{\frac{3n+8}{4}•{2}^{n+1}}{\frac{3n+5}{4}•{2}^{n}}$=$\frac{6n+16}{3n+5}$
∵n≥1，
∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{6n+16}{3n+5}$＞1，
即{c_n}是遞增數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．