Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

tanB

tanA

+1=

2c

a

．
（1）求B；
（2）若cos（C+

π

6

）=

1

3

，求sinA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的a和c，化成sinA和sinB，化簡(jiǎn)整理求得cosB的值，進(jìn)而求得B．
（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求得sin（C+

π

6

）的值，進(jìn)而利用兩角和公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

tanB

tanA

+1=

2c

a

，

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

sinBcosA

cosBsinA

+1=

2sinC

sinA

，
∴

sinBcosA+cosBsinA

cosBsinA

=

2sinC

sinA

，即

sin(A+B)

cosBsinA

=

2sinC

sinA

，
∴

sinC

cosBsinA

=

2sinC

sinA

．
∵在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，
∴cosB=

1

2

．                                   
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．                      
（2）∵0＜C＜

2π

3

，
∴

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

．
∵cos（C+

π

6

）=

1

3

，
∴sin（C+

π

6

）=

2 2

3

．          
∴sinA
=sin（B+C）
=sin（C+

π

3

）
=sin[（C+

π

6

）+

π

6

]
=sin（C+

π

6

）cos

π

6

+cos（C+

π

6

）sin

π

6

=

2 6 +1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用，兩角和公式的運(yùn)用．解題的過(guò)程中一定要特別注意角的范圍．