Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點的距離的最大值為3．

(1)求橢圓的方程；

(2)若過橢圓的右焦點作傾斜角不為零的直線與橢圓交于兩點，設(shè)線段的垂直平分線在軸上的截距為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)心率為，橢圓上的點到右焦點的距離的最大值為3，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、即可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求出中點坐標(biāo)，可得中垂線方程，令，得，分類討論，利用基本不等式可得結(jié)果.

（1）由題意可得：,解得，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

設(shè)，,則中點，

由消去得，

則，

所以，

因為的中垂線的方程為，

令，得，

當(dāng)時，，則；

當(dāng)時，，則，

當(dāng)斜率不存在時，顯然，

綜上，的取值范圍是.